Tập tin:PM-25.pngMột dạng của chai KleinTập tin:PM-26.pngChai Klein đôiTập tin:PM-27.pngChai Klein baTập tin:PM-30.pngMột chai Klein đựng chất lỏng

Cũng như dải Mobius, chai Klein là một đa tạp khả vi trong không gian hai chiều không có định hướng. Nhưng chai Klein là một đa tạp đóng, một đa tạp compact không có biên. Trong khi dải Mobius có thể tồn tại phép nhúng được trong không gian Euclid ba chiều trong R3, chai Klein không thể. Nhưng chai Klein có thể được nhúng vào trong R4

Có thể xem chai Klein như một bó sợi trên vòng tròn S1, với sợi S1: chọn một hình vuông (modul các cạnh tương đương) từ trên xuống là E là tổng các không gian, không gian cơ sở B được cho trong khoảng đơn vị y, có modul 1~0. Phép chiếu π: E → B được cho bởi:

π([x, y])=[y]

Chai Klein được xây dựng (mang ý nghĩa toán học, vì nó không thể được tạo ra mà không cho bề mặt nó tự giao) bằng cách nối các cạnh của hai dải Mobius với nhau, như được mô tả trong bài thơ năm câu sau đây của nhà toán học Leo Moser:[3]

Một nhà toán học có tên là KleinNghĩ dải Mobius là thần thánh.Ông cho biết: "Nếu bạn dánHai cạnh lại với nhau,Bạn sẽ nhận được một chai lạ như của tôi."

Cấu tạo ban đầu của chai Klein có được từ việc xác định những cạnh đối diện của hình vuông, điều này chứng tỏ chai Klein là một phức CW với 0-ngăn P, 2 ngăn đơn C1, C2 và 1 ngăn đôi D. Do đó đặc trưng Euler của nó là 1-2+1 = 0. Biên đồng cấu được cho bởi ∂D = 2C1 và ∂C1=∂C1=0, tạo ra nhóm thấu xạ của chai Klein K là H0(K,Z)=Z, H1(K,Z)=Z×(Z/2Z) và Hn(K,Z) = 0 for n>1.

Có một ánh xạ phủ 2-1 từ hình xuyến đến chai Klein, vì hai bản sao đều thuộc miền cơ bản của chai Klein, một cái được đặt kế phản ảnh của cái kia, tạo ra một miền cơ bản của hình xuyến. Phủ hầu khắp của cả hai hình xuyến và chai Klein là mặt phẳng R2.

Miền cơ bản của chai Klein có thể được xác định là nhóm các biến đổi sàn phủ hầu khắp và được biểu diễn là <a,b | ab = b−1a>.

Sáu màu sắc đủ để tô màu bất kỳ bản đồ trên bề mặt của một chai Klein, đây là ngoại lệ duy nhất để phỏng đoán Heawood, một dạng tổng quát của định lý bốn màu, nhưng sẽ yêu cầu đến bảy màu.

Một chai Klein là đồng phôi với tổng kết nối hai mặt phản xạ. Nó cũng là đồng phôi với một quả cầu cộng với hai mặt mũ chéo.Khi thực hiện phép nhúng trong không gian Euclide, chai Klein là một chiều. Tuy nhiên, còn có ba không gian topo khác, và trong một số ví dụ không định hướng thì chai Klein có thể được nhúng sao cho nằm trong không gian hai chiều, mặc dù bản chất không gian của nó vẫn không định hướng.[4]